Перевод дробных чисел

Перевод дробных чисел.

Пусть X – правильная дробь, которую нужно перевести в Q – ичную систему.


Так как X < 1, то число X в Q – ичной системе можно представить в виде
X = b_-1Q^-1 + b_-2Q^-2 + . . . + b_-m Q^-m + . . . ,
где bi – искомые коэффициенты Q – ичного разложения числа X.
Для определения bi умножим левую и правую часть на число Q пользуясь правилами
Р – ичной арифметики, тогда
XQ = b_-1 + b_-2Q^-1 + . . . + b_-m Q^-m+1 +  . . .
Приравнивая полученные целые и дробные части получим
[xQ] = b-1 
{XQ} = b_-2Q^-1 + . . . + b_-m Q^-m+1 +  . . .
Таким образом коэффициент b-1 в разложении определяется соотношением
[xQ] = b-1 
Положим
X₁ = b_-2Q^-1 + . . . + b_-m Q^-m+1 +  . . .
Тогда X1 будет правильной дробью и для определения b-2 можно применить туже самую процедуру.
Если принять, что X0 = X , то перевод дроби с использованием Р – ичной арифметики осуществляется по следующим рекуррентным соотношениям:
b-(i+1) = [XiQ],
Xi+1 = {XiQ}, i = 0, 1, 2, …
Процесс продолжается до тех пор, пока небудет получено Xi+1 = 0 или не будет достигнута требуемая точность изображения числа. Точность определяется количеством цифр учитываемых после запятой.
Пример 5.
Перевести число Х = (0,2)10 в двоичную систему с использованием 10 –й арифметики.
Решение.
Применим формулы
0,2 ´ 2 = 0,4 = 0 + 0,4 Þ  b-1 = 0;
0,4 ´ 2 = 0,8 = 0 + 0,8 Þ  b-2 = 0
0,8 ´ 2 = 1,6 = 1 + 0,6 Þ  b-3 = 1
0,6 ´ 2 = 1,2 = 1 + 0,2 Þ  b-4 = 1 и т.д.
Ответ 0,210 = 0,(0011)2
Перевод в случае Р = Q^l.
Утверждение.
В случае если P = Q^l ,
где l – целое положительное число, запись какого либо числа в смешанной (Q – P) – ичной системе счисления, тождественно совпадает с записью этого числа в системе с основанием Q.
Так как

то запись 8 – ричного числа  в смешанной системе (2 – 8) -й, будет совпадать с записью его в 2 – ичной системе, и запись 16 – ричного числа в смешанной системе (2 – 16) - й, будет совпадать с записью его в 2 – ичной системе.
Используя это утверждение можно легко выполнить перевод из системы с основанием Р в систему с основанием Q и обратно.
Пример 6.Перевести число 46,5₈ в двоичную систему.
Решение.
Запишем число в смешанной системе (2 – 8). Для записи каждой восьмеричной цифры будем использовать три двоичных разряда ( триаду ), в результате получим.
46,5 = 100 110, 101 – это есть запись числа в двоичной системе.
Пример 7.
Перевести число 101110,10 2 в 16 – ричную систему.
Решение.
Разбиваем число на тетрады вправо и влево от запятой.
0010 1110,1000.
Каждой двоичной тетраде ставим в соответствие 16 – ричную цифру.
0010 – 2, 1110 – e, 1000 – 8.
Ответ 101110,10 ₂ = 2e,8 16